目录

1. 让学生的思维插上联想的翅膀     《初中数学教与学》2013.8
2. 挖掘数学教材 培养思维能力      《初中数学教与学》2013.8
3. 妙用不等式等号成立条件解题举例  《中学生数学》2012年第03期
4. 不等式的面积视角               《中学生数学》2012年第09期
5. 不等式的三类“成立”问题      《中学生数学》2012年第11期
6. 怎样确定边数                  《中学生数学》2012年第16期
7. 学好相反数与绝对值            《中学生数学》2012年第18期
8. 三角函数的两个黄金分割比     《中学生数学》2012年第19期
9. 平面几何中的奇妙结构         《中学生数学》2012年第22期
10. 别把“增根”不当根          《中学生数学》2012年第24期
11. 重视例题教学 培养学生能力    《初中数学教与学》2013.19
12. 数学活动课教学形式与内容的探讨《初中数学教与学》2013.19
13. 通过反思提高学生的学习能力    《初中数学教与学》2013.12
14. 关注概念生成的五个环节         《初中数学教与学》2013.12
15. 运用类比思维 活化数学教学    《初中数学教与学》2013.17

让学生的思维插上联想的翅膀

数学是一个具有内在联系的有机整体，各不同分支、不同部分都是相互联系、互相渗透的，学习数学的过程就是一个不断联想的过程．通过联想能化难为易、化繁为简、化抽象为具体，化陌生为熟悉; 通过联想还能使学生加深对概念、公式、定理的理解，培养思维的广阔性，增强学生创造性思维的能力．下面笔者结合教学实践，谈谈如何在教学中引导学生展开合理联想，培养学生的思维能力．

一、旧知结合新知，引发联想

学生对于新知识的学习是以旧知识为基础的．新知要么是在旧知的基础上引申和发展出来的，要么是在旧知的基础上增加新的内容，或由旧知重新组织或转化而成的，所以旧知是学习新知最直接、最常用的认知停靠点．例如，学习《二次函数和一元二次方程》这一节的内容时，笔者设计了这样一道例题:二次函数 y = ax2+ bx + c( a ≠ 0) 的图象如图 1 所示，根据图象解答下列问题:132-11 2 34-1Oxy图1%( 1) 写出方程 ax2+ bx + c = 0 的两个根;( 2) 写出不等式 ax2+ bx + c ＞ 0 的解集;( 3) 若方程 ax2+ bx + c = k 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围．对于( 1) ，在没有给出任何提示的情况下，很多同学都先求出抛物线的解析式为 y= － 2( x － 2)2+ 2，然后解方程－ 2( x － 2)2+2 = 0． 笔者肯定了学生方法的正确性，并让学生仔细观察二次函数和一元二次方程形式上的区别与联系．学生发现在 y = ax2+ bx + c( a≠ 0) 中，令 y = 0，就得到一元二次方程 ax2+bx + c = 0( a ≠ 0) ，故求 ax2+ bx + c = 0( a ≠0) 的解，只要求对应抛物线与 x 轴交点的横坐标．问题( 2) 给出的是一元二次不等式，有了第( 1) 题的经验，很多学生不再盲目去解不等式－2( x －2)2+ 2 ＞ 0 了． 从形式上可发现，在二次函数y = ax2+ bx + c( a ≠ 0) 中，令 y ＞0，得到不等式 ax2+ bx + c ＞ 0( a ≠ 0) ，此不等式的解就是二次函数图象在轴上方的图象所对应的横轴坐标，故解集为 1 ＜ x ＜ 3．对于( 3) ，笔者欣喜地发现，有几个同学没有动笔计算就直接报出了答案，我及时把这个“球”踢给了学生，学生讲的非常精彩．此小题只要求当k为何值时，二次函数y = ax2 bx + c( a ≠ 0) 与一次函数 y = k 的有两个交点，结合图象即可得到 k ＜ 2．

二、抽象结合直观，引发联想

数学教学中离不开数形结合，数式具有抽象、概括、可演算等特点，图形则有形象、具体、直观等特点．碰到一些性质不明的代数式，若以图形的形成直观地表示出来，往往一目了然．例如，求 | x － 1 | +| x － 2 | +| x － 3 | 的最小值．这是代数问题，已知条件很简单，但不易下手． 数轴是数与形的第一次碰撞，如果联想到绝对值的几何意义，画出数轴，建立几何模型，则问题转化为: 在数轴上找出表示 x 的点，使它到表示 1，2，3 各点的距离之和最小．不难发现当 x在数轴上2 的位置时，| x － 1 | +| x －2 | +| x － 3 | 取到最小值 4． 教师还可以适当引申，让学生去求 | x － 1 | +| x － 2 | 的最小值，| x － 1 | +| x － 2 | +| x － 3 | +| x － 4 | 的最小值，| x － 1 | +| x － 2 | +| x － 3 | +| x － 4 | +|x － 5 | 的最小值． 从而归纳出一般性的结论:求 y = | x － a1| +| x － a2| +| x － a3| + … +|x － an| 的最小值，由绝对值的意义可知，当 n为偶数时，若an2≤ x≤ a n2 +1时，则 y的值最小;当 n 为奇数时，若 x = a(n+1)2时，y 的值最小．由此可见，通过数形结合，引发联想，学生的思维可得到进一步升华．

三、直觉结合推理，引发联想

直觉的判断往往是我们解决一些问题时常用的法宝．然而过分的依赖直觉又容易犯经验主义错误，因而在直觉判断的基础上还

要进行适当的推理．例如，玲玲上山每小时行 5 千米，下山原路返回每小时行 7 千米，她往返的平均速度是每小时 千米．乍一看题目，觉得非常简单，很多学生会犯这样的错误，认为答案是 6． 细细推理，才能

得到正确答案:

设这段路程为 s 千米，则上山用了s5小时，下山用了s7小时，所以她往返的平均速度为2ss5+s77 千米 / 小时．

变式 玲玲上山一共花去 4 小时，前一半时间的平均速度为 5 千米 / 小时，一半时间的平均速度为 7 千米 / 小时，则上山的平均速度为 千米 / 小时．通过计算发现，此时的答案是 6．由此启发学生联想: 甲、乙都做直线运动，甲前一半位移的平均速度为 v1，后一半位移的平均速度为 v2，全程的平均速度 v甲=; 乙前一半时间的平均速度为 v1，后一半时间的平均速度为 v2，全程的平均速度为v乙= ( v1≠ v2) ．正确的感觉不是从天而降，是感性认识的缓慢萌动和生长，经过加工和提炼，将感性认识上升到理性认识，延伸了学生思维的时空．

四、一般结合特殊，引发联想

我们认识事物往往都是从特殊的入手，然后逐步一般化; 再在一般的指导下，更加深入地认识某些特殊的事物． 学习数学，往往也离不开这条总的认识规律．例如，苏科版七( 上) 《用字母表示数》的这部分内容，充分体现了特殊 ——— 一般 ———特殊的思想方法，数学解题中同样也离不开这一思想方法．有些数学问题往往有其特殊的结构或背景，解题时紧紧抓住已知等式的结构特点，灵活运用一般和特殊之间的矛盾关系，通过转化进行联想，往往能够达到化难为易的目的．

挖掘数学教材 培养思维能力

数学新课标明确要求，在数学教学中要加强学生能力的培养，而思维能力的培养无疑是其中一个最重要的方面，目的是使学生的猜想、实践、类比、归纳、转化等能力得到提高．所以，要培养学生的思维能力，就必须结合初中数学教材，把思维能力的培养贯穿于教学的全过程． 在教学中，使学生的思维既有明确的目的方向，又有自己的见解; 既有广阔的思路，又能揭露问题的实质; 既敢于创新，又能具体问题具体分析．一、挖掘数学教材，培养学生类比思维能力类比是根据两个或两类数学对象的一些相同或相似的属性，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法; 类比是一项探索性或发现性活动，它是提出问题，做出新发现的主要源泉，是科学研究最普遍的方法． 比如由一元一次方程的解法，类比出一元一次不等式的解法．教学中要启发学生从知识的顺延、从属、引申、互逆、相似等方面考虑和发掘类比因素，抓住新旧知识的共同性质加以分析、比较，同时逐步引导学生由“已知”发现“未知”，使新旧知识相互作用，相互联系．

例如，在反比例函数与一次函数类比的

复习课中，可以两条主线来设计: 一条是明线，沿着基本知识 ———— 基本技能 ———— 综合运用 ———— 延伸探究; 另一条是暗线，体验类比思想方法 ———— 理解类比思想方法————尝试运用类比思想方法————形成运用思想方法的自觉意识 ———— 发展问题解决能力．这样的知识和能力结构体系不仅是为了促进学生的记忆，更是为了便于学生的运用和建构．再如，类比同底数幂乘法法则推导方法，研究幂的乘方法则、同底幂的除法法则; 类比整数的因数分解，去研究多项式的因式分解;类比二元一次方程组的解法，研究三元一次方程组的解法; 类比分数的概念、性质、运算，研究分式的概念、性质、运算; 类比合并同类项法则，研究二次根式的加减法; 类比三角形的面积公式，研究扇形面积公式; 类比直线与圆的位置关系，研究圆与圆的位置关系，类比等腰三角形的概念性质及对称性和研究等腰梯形的定义、性质、对称性等等．

二、挖掘数学教材，培养学生归纳推理能

力

在数学教学中，要利用一切机会向学生

渗透归纳推理的思维方法，有利于培养学生

的创造性思维，对问题解决能力的提高也会

起到事半功倍的效果．

例如，在初一教材中有如下问题的探究:

在如图1 所示的3 × 3 的的方格图案中有

多少个正方形呢?

图 1

设图中每个小正方形的边长为 1 个单位，

则图中各边长分别为 1、2、3 的三类正方形，把这三类正方形的个数相加，就是图中正方形的总数． 图中边长为1 的有9 个，边长为2 的正方形的总数为: 9 + 4 + 1 = 14 个．按照这样的思路可以进一步计算 4 × 4，5× 5 方格中正方形的个数分别为 30 个( 16 + 9+ 4 + 1) ，55 个( 25 + 16 + 9 + 4 + 1) ，从而探索出一般规律性的结论: 在 n × n 的方格图案中正方形总数为: 12+ 22+ 32+ …… + ( n －1)2+ n2．将这些趣味性高、能引起学生思考的问题逐渐渗透到课堂中去，既可以训练学生由特殊到一般的思维方式，又可以培养学生归纳思维的能力．数学教学中能进行归纳思维训练的内容还有很多．由于初中学生抽象逻辑思维能力还不够成熟，一些法则也不可能给出严格的逻辑证明，教材往往采用一般归纳法给以解释，从而提供训练归纳能力的最佳时机．例如，有理数的加减乘除运算法则，有理数运算的交换律、结合律、分配律、去括号的法则，同底数幂的运算法则，整式乘除法的有关法则，不等式的基本性质，一元二次方程根与系数关系等，都可以用归纳法进行探索发现．在平面几何中，由三角形的内角和、四边形的内角和研究 n 边形的内角和也可以使用归纳法． 在圆这一章，对圆周角定理、弦切角定理的证明，使用的是完全归纳法．除此之外，在教学过程中我们还应该经常对解题思路、解题方法或解题步骤及知识结构进行总结与归纳． 这些都是归纳思维能力训练的载体，应尽可能引导学生自己来完成，从而达到培养学生发展归纳能力的目的．

三、挖掘数学教材，培养学生猜想思维能力

在教学中给学生猜想的机会，引导学生主动猜想，从而培养他们的想象能力，这也是提高学生创造能力的一条有效途径．教师在处理教材时，要引导学生自觉思考定理、公式或例题中所省略了的探索过程，培养学生对问题的处理先“猜”后“证”的习惯，鼓励猜想与推测． 另外，在教学中要提供一些开放性的问题，鼓励学生大胆猜测，在得到正确结论的同时，不断锻炼思维的敏捷性和独创性．例如，在进行“圆周角定理”一节的教学时，对“一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系”，可首先引导学生猜想，通过三种情况分类讨论，从特殊到一般，并最后证

妙用不等式等号成立条件解题举例

等与不等是一对矛盾,从辩证法的角度看,它们在一定的条件下可以相互转化,有些数学题,如能利用重要不等式(或特殊不等式)取等号的条件求解,简洁、迅速、有独到之处,现分类说明如下:一、绝对值不等式｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜,左端等号成立当且仅当ab≤0时成立;右端等号成立当且仅当ab≥0时成立.例1若f(x)=2cosx+1,g(x)=槡2-2cosx,其中x∈[0,2π),解方程:｜f(x)+g(x)｜=｜f(x)｜+｜g(x)｜.解由绝对值不等式中等号成立的条件知原方程等价于f(x)·g(x)≥0,即(2cosx+1)(槡2-2cosx)≥0,解得π4≤x≤23π.二、平均值不等式设a·b∈R+,a+b2≥槡ab(当且仅当a=b时等号成立).例2已知cos4αcos2β+sin4βsin2α=1,求证:cos4βcos2α+sin4βsin2α=1.证明由于cos4αcos2β+cos2β≥2cos2α①sin4αsin2β+sin2β≥2sin2α②由①+②得cos4αcos2β+

不等式的面积视角

同学们对一个代数不等式的理解,一般更注重于它的代数证明,而内隐在其背后的丰富的图形直观背景,则往往疏于挖掘,这不能不说是一种遗憾.实际上,很多代数不等式,不但可以通过代数的方法予以证明,而且还蕴含形象的几何意义,如果我们面对一个代数不等式,能够积极探寻其图形解释,不但可以加深对不等式的理解程度,而且还别具趣味.本文仅从图形的面积关系,来审视一些代数不等式,供同学们参考.例1若a,b∈R,则a2+b2≥2ab.探究这是同学们都熟知的基本不等式.现在,以图形面积的视角来考虑这个问题,可以想到我们熟悉的三角形面积,故可把不等式变形得12a2+21b2≥ab.图1不妨设a,b>0,则可构图1,在Rt△ABC、Rt△AED中,AB=BC=a,AE=EC=b.由图形面积关系,可得S△ABC+S△AEC≥S矩形ABPE,即12a2+12b2≥aba2+b2≥2ab.由图可见,当且仅当a=b时,取等号.点评通过上述的面积视角,使得对基本不等式的理解跃然图中,印象深刻.例2若a,b,c,d∈R,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.探究这是著名的柯西不等式.为方便起见,不妨设a,b,c,d(本文共计1页)

不等式的三类“成立”问题

在数学领域中,一个问题的成立有三种类型,即能成立、恒成立、恰成立.这三类问题,非常相似,极易混淆,最易解错.对此,为能分清是非,明确异同,准确解答,本文对其进行论述研究.先看下面的例题:已知函数f(x)=x2+bx+3,当x∈(1,3)时分别求下列三题中实数b的取值范围:(1)f(x)<0能成立;(2)f(x)<0恒成立;(3)f(x)<0恰成立.这三个十分相似的问题中,相同之处都是要不等式f(x)<0成立,但它们成立的要求互不相同.(1)f(x)<0能成立,是个存在性问题,即所求对象能使f(x)<0存在.在x∈(1,3)内这不等式f(x)<0存在,不是说要在区间(1,3)内处处存在(当然不排斥处处存在),只要所求区间有元素(可以是一部分,也可以是全体)使这不等式成立即可.也就是说,只要f(x)<0的解集D含有(1,3)的元素(可以是部分,也可以是全体),f(x)<0在(1,3)内就能成立.设不等式f(x)<0的解集是D,需要D∩(1,3)≠,由f(x)是开口向上的抛物线知,这D应同时具备两个条件:①Δ>0,b∈(-∞,-2槡3)∪(2槡3,+∞);②对称轴x=-b2满足1<-b2<(本文共计1页)......[继续阅读本文]

怎样确定边数

题目一个凸多边形的最小内角为95°,其它内角依次多10°,求这个多边形的边数.方法一逐次增边实验解1(根据多边形的内角和必是180°的倍数,从四边形开始,采用实验的方法,看一看加到多少次后,其和是180°的倍数.)95°+105°+115°+125°=440°,440°+135°=575°,575°+145°=720°=4×180°.故这个多边形的边数是6.解2(根据多边形的外角和等于360°,从四边形开始,采用实验的方法,看一看加到多少次后,其外角和等于360°.)由于多边形的最小内角为95°,其它内角依次多10°,故其最大外角为85°,其它内角依次减少10°.85°+75°+65°+55°=280°,280°+45°+35°=360°.故这个多边形的边数是6.方法二借助方程解3设这个多边形的边数是n,则其内角依次为:95°,95°+1×10°,95°+2×10°,…95°+(n-1)×10°.根据多边形的内角和定理,得95°+(95°+1×10°)+(95°+2×10°)+…+[95°+(n-1)×10°]=(n-2)×180°即n×95°+[1+2+…+(n-1)]×10°=(n

学好相反数与绝对值

相反数和绝对值是两个非常重要的基础概念,有着广泛的应用.不少学生在学习时觉得不好理解,应用时经常出问题,下面就和同学们一起学习相反数和绝对值.1.理解相反数的概念要注意“只有符号不同”的含义,及零的相反数是零的这个规定.2.互为相反数指的是一对数,甲、乙两数互为相反数包括甲是乙的相反数,乙也是甲的相反数.3.相反数的几何意义:表示互为相反数的两个点(除0外)分别在原点O的两边,并且到原点的距离相等.4.多重符号化简的依据就是相反数的意义,化简的结果是由“-”号的个数来决定的,简称:奇负偶正.5.从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.注意,这里的距离,是以单位长度为度量单位的,是一个非负的量.6.一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.7.两个负数,绝对值大的反而小.一、用相反数和绝对值的概念解题例1(2011年浙江丽水)下列各组数中,互为相反数的是().(A)2和-2(B)-2和12(C)-2和-12(D)12和2解析根据相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数,易知本题选(A).例2绝对值为4的实数是

三角函数的两个黄金分割比

众所周知,((5～(1/2))-1)/2≈0.618…叫做黄金分割比.它在生活生产中大量存在,就人体中亦有黄金分割比的美学之称,即人的肚脐将身高分成的下半部分与上半部分为黄金分割比的称为体态美.数学中的黄金分割比更是枚不胜举了,可中学数学所介绍的黄金分割比大多数都是几何学科,介绍三角函数的黄金分割比并不多见,本文来介绍三角函数的一个黄金分割比,供同学们欣赏.定理1若cos2α=tan2α,则cos2α和tan2α是黄金分割比.证明要cos2α=tan2α则α≠kπ+π2,α≠kπ(k∈Z).由已知条件得cos2α=tan2α=sin2αcos2αcos4α=sin2α=1-cos2αcos4α+cos2α-1=0cos2α=-1±槡122-·4·11·(-1)=-12±槡5.因为0<COS2Α(本文共计1页)

平面几何中的奇妙结构

图形的对称美是大家都很熟悉的.本文想探索图形的结构美,使学生一方面对数学感兴趣,另一方面感悟一法证明多题的奇妙功效.一、由等边三角形生成新的等边三角形图1例1如图1,B是AC上的任意一点,分别以AB、BC为边向同侧作等边△ABE和△BCD,连接AD、EC,M、N分别是AD、EC的中点,证明:△BMN是等边三角形.证明∵△ABE和△BCD都为等边三角形,∴AB=BE,BC=BD,∠ABE=∠DBC=60°,即∠ABD=∠EBC,∴△ABD≌△EBC,∴∠DAB=∠CEB,AD=EC,又M、N分别为AD、EC的中点,∴AM=EN,易知△ABM≌△EBN,∴BM=BN,∠ABM=∠EBN,而∠ABM+∠MBE=60°,∴∠MBN=60°,故△BMN为等边三角形.图2变式将△BCD绕点B顺时针旋转α度(0<α<180°),其他条件不变,如图2,上面结论是否仍然成立?结论△BMN仍然是等边三角形.证明同上(略).二、由等腰三角形生成新的等腰三角形例2如图3,已知在△ABE和△BCD中,BA=BE,BC=BD,∠ABE=∠CBD,且、、在一条直线上,连接、,、分图3别是AD、EC的中点,求证:△A(本文共计1页)

别把“增根”不当根

解分式方程去分母时,方程两边同乘最简公分母,得到整式方程.如果所乘的最简公分母不为0,所得到的整式方程与分式方程同解;如果所乘的最简公分母为0,所得到的整式方程的解就不一定是原来分式方程的解,其中使最简公分母为0的解,就不是原方程的解,称为原方程的“增根”.分式方程的“增根”有两个特征:一是原分式方程去分母后所得到的整式方程的根,因此在解决分式方程有关问题时千万别把“增根”不当根;二是“增根”必使原方程中的最简公分母为0.“增根”在解决分式方程问题中大有作为.一、正确辩识“增根”例1若方程6(x+1)(x-1)-mx-1=1有增根,则它的增根是().(A)0(B)1(C)-1(D)1和-1分析这是一道错误率非常高的选择题,很多同学看完题目后想都不想就选(D)答案,理由是“增根”必使原方程中的最简公分母为0,而容易忽视“增根”还有另一个特征:是原分式方程去分母后所得到的整式方程的根.解方程两边同乘(x+1)(x-1),得6-m(x+1)=(x+1)(x-1).整理得x2+mx+m-7=0.∵方程有增根,必有(x+1)(x-1)=0,解得x=1或x=-1.当x=1时,方程x2+mx+m-7(本文共计1页)

重视例题教学 培养学生能力

例题教学是数学课堂教学中的关键环节，如何在例题教学中培养学生的能力，是每一个数学教师必须高度重视的问题．本文谈谈笔者在例题教学中的做法和体会．一、利用生活事例，培养学生应用能力教材中例题的背景一般比较抽象，缺乏生活气息，如果对其赋予与学生密切相关的生活情境，编制学生所熟悉的内容，不仅可以激发学生的参与热情，还能发挥学生的创新意识和创造能力．

例如，在学习直线的斜率时，可给学生这样一个思考题:例 1 现在我们学校用电每度 0. 5 元，若假设我们班用电度数是 x，电费为 y，则其函数关系是 y = 0. 5x． 这条直线的斜率是多少?这样的生活情境让学生看到了生活实际问题，激起了学生解决问题的欲望，从而开动脑筋，积极猜想，还可凭生活经验等等试一试．这样一个良好的开端就是成功的一半，一种好的引入方法可以促使学生产生强烈的求知欲望，正如认知心理学认为，兴趣是学生最直接的学习动机．

二、鼓励动手操作，培养学生探索能力

传统的例题教学，只注重对学生思维能力的培养，而忽视动手能力的训练．如果我们能结合题目的特征，自觉地把例题改编成实践操作题，使问题拓宽、加深、变活，鼓励学生大胆动手试一试，则可获得良好的效果．例如，在学习直线的斜率时，引入这样的例题:

例 2 经过点( 3，2) 作一条直线，使直线的斜率分别为: ( 1)34; ( 2) －45．本题可得学生思考: 如果直线 l 按 x 轴负方向平移 3 个单位，再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后，又回到了原来的位置，那么直线 l 的斜率为多少?让每一位学生动手画图，在课堂结构设计中想方设法营造一些活泼、轻松的课堂气氛，在师生之间沟通信息，活跃思维，达到培养学生发散思维的目的．三、推广引申例题，培养学生开拓能力推广引申就是在完成解题后，对原题的条件、结论、题型作进一步的开拓思考，引伸出新题和新的解法．世界上一切事物都是不断发展变化的，数学的各知识点间，也是相互依存，互相制约，不断变化的，因此，将例题作适当的推广引申，就能把课本知识融会贯通，大大增强学生思维的发散性和创造性

数学活动课教学形式与内容的探讨

九年制义务教育数学课程的实施虽然已有时日,但仍有不少数学教师对数学活动课的概念模糊,认识不清,将数学学科课与数学活动课的教学要求、教学特点混为一谈.针对以上问题,笔者结合自己对数学活动课的理解,以及几年数学活动课的教学体会,谈谈对初中数学活动课的教学形式和内容的认识,以求抛砖引玉.一、教学形式由于数学活动课具有内容广泛,形式多样、实施灵活、强调学生自主参与获得直接经验等特点,上好数学活动课必须注意保持“活动”的特点,防止把活动课搞成第二“学科”.需要在数学活动课上注意以下几点:1、突出灵活.数学活动课的内容不可“照本宣科”,而需要根据学生年龄的特点、学生的兴趣给他们选择的机会.活动的方式必须摆脱学科课教师惯用的复习、新授、练习、小结、作业的模式,而根据不同的活动内容,采用不同的活动方式.比如,可采用游戏贯穿、小组合作、数学讲座,甚至根据需要开展室外教学等.2、强调“自主”.学生是活动的主人,教师可根据学生的要求给予具体指导.在活动中,尊重学生独特的思维方式和活动方式,着重引导、启发学生去感受、去理解、去应用,广泛地接触事物,从中发现问题,并自己提出解决问题的方案,再通过实践解决问题,获

通过反思提高学生的学习能力

大教育家孔子说过:“吾日三省吾身.”学会反思是学习方法的本质和核心,反思能引起主体内心的冲突,动摇主体已有的认知结构的平衡,从而唤起思维,激发内驱力,使学生进入问题探索者的角色,会反思才会学习.在初中数学学习过程中,反思可以巩固所学的数学知识,强化数学解题能力;有助于学生探索隐藏在基础知识背后的数学思想方法,优化学生的思维能力.一、数学教师要有反思意识科学、有效的教学反思,可以帮助我们减少教学中的遗憾,从而提高课堂效益.当我们对教学过程进行反思的时候,实际上就是我们的思维再活化、再碰撞的过程.它让我们站在研究者的角度来审视我们的行为,使我们能及时捕捉教学灵感和各种信息,分析并研究得出各种教学现象的得与失,加深我们对教学活动规律的认识和理解,形成自己对教学现象、教学问题的独立思考和创造性的见解.具备反思意识的数学教师,才能自觉地在教学中、严谨地审视自已的教学行为,改进自已的教学实践,从而提高教学质量;才能养成科学的对教学活动的自我评价的习惯,对教学过程进行修正和控制的方法、技能才能得到相应地提高,增强自我监控能力;才能认真反思学生的学习过程,而不仅是学生学习的结果,从而帮助学生改进学习方

关注概念生成的五个环节

数学是思维的科学，数学概念是数学思维的细胞，数学是用概念思维的．从数学的发展过程看，数学概念凝聚着人类认识事物的思想精华; 从数学概念的教学过程看，概念教学是获取研究对象，认识数学新对象，带有本源性的概括过程; 从学生的认知角度看，学生是用已获得的知识来理解新概念，将新概念融入已有认知结构的吸纳过程． 在概念教学中，具体可落入到下列几个环节: 引入概念、形成概念、剖析概念、巩固概念和运用概念等． 惟有在这五个环节上“不惜时，不惜力”，

才能让概念教学变得更充实、自然些．本文通

过几个典型案例的分析，来阐述具体的一些

做法．

一、关注数学概念的引入过程

布鲁纳指出: “当基本概念以正规形式出现在学生面前时，如果事先没有从直觉上加以理解，对这些概念则将无能为力． ”正因为如此，概念的引入是学生能否学好概念的关键一步．一般来讲，概念的引入有以下三种方法:

1． 通过对现实材料的分析、抽象引入概念让学生获得丰富的和贴切实际的感性材料是学生理解数学概念的首要条件．教学中，应引导学生从分析日常生活和生产实际中的实例入手，通过观察有关的实物、图示、模型，或引导学生根据已有的数学经验和知识，通过对熟悉的数学对象( 如代数式、图形等) 的数量关系和空间形式的观察和分析，在形成充分感性认识的基础上引入概念．2． 通过数学自身发展的内在需要引入概念数学自身发展的内在需要既是推动数学发展的动力之一，也是调动学生学习积极性、激发其内在需要的重要素材．通过揭示数学自身发展过程中的矛盾、问题，打破学生原有的认知，再引导学生探索化解矛盾和解决问题的途径，从而引入概念．

3． 通过类比引入概念类比不仅是思维的一种重要形式，而且也是引入新概念的一种重要方法．这种类比还可以不同类的，相似、相近或相关的事物中进行，通过类比能使相比较的客体的本质更加明确，使模糊的概念更加清晰，更能防止知识间的混淆和割离．

运用类比思维 活化数学教学

类比思维，是指根据两个或两类对象在某些属性上相同或相似得到它们在其他属性上也可能相同或相似的一种方法，也是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式．若能在数学教学过程中认真审视、对待并运用它，可以帮助学生打开思维，活化数学学习，真正为培养学生的创新性精神而服务．一、运用类比思维，活化数学课堂1、利用类比，创设问题情境数学教学可以理解为一种情境科学． 数学的教学常常是围绕某一个数学问题的提出和解决而展开的． 在数学课堂教学中，可以创

设类比联想的问题情境，让学生进行思考，随

之暴露数学的思维过程，将每一个环节展现

给学生，让学生尝试观察和类比，从而解决问

题，得出结论．

例如， a

槡2等于什么?我们不妨取 a 的一些特殊值，如 2，－ 2，3，－ 3，… 分别计算对应的 a2的值，看看有什么规律:2槡2=槡4 = 2; ( － 2)槡2=槡4 = 2;3槡2=槡9 = 3; ( － 3)槡2=槡9 = 3;…由此概括结论为:当 a ≥ 0 时， a槡2= a;当 a ＜ 0 时， a槡2= － a．

2、利用类比，采用变式教学利用类比的方法将例题进行变化，能使课堂更深刻，更富灵活性．变式教学有利于学生更好地寻找和提炼问题表象背后本质的东西，它对培养学生分析问题的意识和能力有很大帮助．例如，在讲解一元二次方程根的判别式的时候，就可以给出一系列的变式例题:原题 k为何值时，方程x2+ 2( k － 1) x +k2+ 2k － 4 = 0 有两个不相等的实数根．变式 1 k 为何值时，方程 x2+ 2( k － 1) x+ k2+ 2k － 4 = 0 有两个实数根;变式2 k为何值时，方程 kx2+ 2( k － 1) x+ k － 4 = 0 有两个实数根;变式3 k为何值时，方程 kx2+ 2( k － 1) x+ k － 4 = 0 有实数根．这一系列的变式题，可以让学生深刻理解一元二次方程的判别式与根的三种情形的关系，一元二次方程的判别式与二次项系数的关系，一元二次方程的解与一元一次方程解的联系．3、利用类比，展现知识形成过程打造类比思维，利用类比思维进行探究，

可以展现知识点的形成过程．这种教学方式

更有利于学生在自主的学习活动中感悟到其

中的思想方法和内在联系．

例如，在学习“平行四边形”这一章时，可

以采取类比的方法进行平行四边形的性质的

教学． 经过这些学习，使学生感受到在解决不

同的问题时，也可以类比解决已知问题的模

式来解决未知的问题，从而形成了方法的类

比迁移．

二、运用类比思维，将数学系统化

类比是根据两个对象或两类事物的一些

属性或相似，猜测另一些属性也可能相同或

相似的方法． 通过数学知识的不同分支的类

比迁移，可以寻找其相互关系，将其串成知识